Есть 10 мешков монет, причём известно, что в одном из них монеты фальшивые. Фальшивая монета весит 9 г, а настоящая — 10 г. Как при помощи одного взвешивания на весах с делениями определить мешок с фальшивыми монетами?

Нужно сделать так, чтобы результат одного взвешивания был “уникальным” для каждого мешка. Для этого берём разное количество монет из разных мешков.

1. Пронумеруем мешки от 1 до 10.

2. Возьмём:

• из мешка №1 — 1 монету,

• из мешка №2 — 2 монеты,

• …

• из мешка №10 — 10 монет.

Всего получится $1+2+\dots+10=55$ монет.

3. Взвесим все эти 55 монет вместе один раз.

Если бы все монеты были настоящими, масса была бы:

Но один мешок содержит фальшивые монеты по 9 г, то есть каждая такая монета на 1 г легче настоящей. Значит, реальная масса будет меньше 550 г ровно на столько граммов, сколько фальшивых монет мы взяли из “плохого” мешка.

А из мешка №k мы взяли ровно $k$ монет. Если именно он фальшивый, то недобор массы будет $k$ граммов:

4. Вывод:

• Если весы показали 549 г, недобор 1 г → фальшивый мешок №1.

• Если показали 548 г, недобор 2 г → мешок №2.

• …

• Если показали 540 г, недобор 10 г → мешок №10.

То есть: измеряем массу, вычитаем её из 550, и полученная разница в граммах прямо даёт номер мешка с фальшивыми монетами.