На столе лежит 10 пронумерованных мешочков, в каждом из которых лежит 10 золотых монет. В одном из мешочков все монеты фальшивые. Масса настоящеймонеты равна 10 г, а масса фальшивой — 9 г. Как с помощью весов со шкалой в граммах определить, в каком из мешочков находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? (Весы могут взвешивать груз, масса которого не более 750 г.)

Чтобы определить, в каком из мешочков находятся фальшивые монеты, используя весы со шкалой в граммах только один раз, можно воспользоваться следующим методом:

1. Пронумеруйте мешочки от 1 до 10. Каждый мешочек уже имеет номер, например, от 1 до 10.

2. Извлеките монеты для взвешивания. Возьмите из каждого мешочка определённое количество монет, равное номеру мешочка:

   • Из первого мешочка возьмите 1 монету.
   • Из второго мешочка возьмите 2 монеты.
   • Из третьего мешочка возьмите 3 монеты.
   • И так далее, из десятого мешочка возьмите 10 монет.

3. Общее количество монет. В итоге у вас будет:

   $$1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \cdot (10 + 1)}{2} = 55 \, \text{монет}.$$

4. Определите теоретическую массу всех монет, если бы они были настоящими. Если бы все монеты были настоящими, их общая масса составила бы:

   $$55 \cdot 10 = 550 \, \text{г}.$$

5. Взвешивание. Взвесьте выбранные монеты на весах. Пусть вес показывает, например, $M$ граммов.

6. Вычисление разницы. Определите разницу между теоретической массой и фактической:

   $$\Delta = 550 - M.$$

   Разница $\Delta$ будет кратна 1 грамму, так как каждая фальшивая монета легче настоящей ровно на 1 грамм.

7. Определение мешочка с фальшивыми монетами. Поскольку из каждого мешочка взято количество монет, равное его номеру, разница $\Delta$ будет равна номеру мешочка с фальшивыми монетами. Например:

   • Если $\Delta = 3$, значит, третий мешочек содержит фальшивые монеты.
   • Если $\Delta = 7$, значит, седьмой мешочек содержит фальшивые монеты.

Пример:

• Из первого мешочка 1 монета, из второго — 2, из третьего — 3 и т.д.
• Если весы показывают $545 \, \text{г}$, разница $\Delta = 550 - 545 = 5$.
• Значит, в пятом мешочке находятся фальшивые монеты.