Из одинаковых на вид монет Мудрец может найти единственную фальшивую, сделав всего 4 взвешивания на чашечных весах без гирь. Какое наибольшее число монет может быть у Мудреца, если известно, что фальшивая монета более лёгкая?

Для решения этой задачи нужно учитывать, что на каждом взвешивании Мудрец может разделить монеты на три группы: две из них положить на чаши весов, а третью оставить в стороне. В зависимости от того, какая чаша весов окажется легче, Мудрец будет знать, в какой группе находится фальшивая монета, так как она более лёгкая.

Каждое взвешивание даёт три возможных исхода: левая чаша легче, правая чаша легче, или обе чаши одинаковы. Это означает, что за каждое взвешивание мы можем исключить две трети монет, так как фальшивая монета находится только в одной из трёх групп. Таким образом, на каждом взвешивании количество монет, которые остаются на рассмотрении, сокращается в три раза.

Чтобы найти наибольшее количество монет, которые Мудрец может проверить за 4 взвешивания, нужно решить неравенство:

где $N$ — максимальное количество монет. Число $3^4 = 81$, значит, за 4 взвешивания Мудрец может проверить не более 81 монеты.

Таким образом, наибольшее количество монет, среди которых Мудрец может найти одну фальшивую, составляет 81.