Инкассаторы привезли из банка 5 мешков с монетами. Несмотря на то, что монеты выглядят одинаково, они могут быть трех разных весов (8, 9 и 10 граммов). В каждом мешке монеты только одного веса (или 8, или 9 или 10 граммов). Имеются электронные весы, которые показывают точный вес (в граммах). На чашу весов можно класть любое количество монет из любых мешков. Требуется за 1 (одно!) взвешивание определить, в каких мешках 8 граммовые, в каких 9 граммовые, а в каких 10 граммовые монеты. Какое минимальное количество монет нужно положить для этого на весы?

Чтобы определить вес монет в каждом из пяти мешков за одно взвешивание, можно воспользоваться следующей стратегией. Она базируется на уникальном "кодировании" мешков разным количеством монет.

Алгоритм:

1. Пронумеровать мешки: Назовем мешки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$.

2. Выбрать количество монет из каждого мешка:

   • Возьмем из мешка $A$ — 1 монету,
   • из мешка $B$ — 2 монеты,
   • из мешка $C$ — 3 монеты,
   • из мешка $D$ — 4 монеты,
   • из мешка $E$ — 5 монет.

   Это создаст уникальную комбинацию, которая позволит однозначно определить вес монет в каждом мешке.

3. Взвесить выбранные монеты: Положим все выбранные монеты на весы и узнаем их общий вес.

4. Анализ результата:

   • Если монеты из всех мешков имели одинаковый вес (например, по 9 граммов), то общий вес был бы $1 \times 9 + 2 \times 9 + 3 \times 9 + 4 \times 9 + 5 \times 9 = 15 \times 9 = 135$ граммов.
   • Однако, если в каком-то мешке монеты весят больше или меньше, общий вес изменится, и по этому изменению можно вычислить, сколько монет из каждого мешка весят по 8, 9 или 10 граммов.

5. Пример расчета:

   • Пусть результат взвешивания — 133 грамма. Это на 2 грамма меньше, чем "ожидаемый" вес для всех мешков с монетами по 9 граммов (135 граммов). Значит, одна из монет из взятых "облегчена" на 1 грамм (весит 8 вместо 9). Например, это может быть мешок $C$ (3 монеты, каждая весит на 1 грамм меньше).
   • Аналогично, если вес больше, значит в мешке монеты по 10 граммов.

Таким образом, зная разницу между ожидаемым и фактическим весом, можно определить вес монет в каждом мешке.

Минимальное количество монет:

Чтобы однозначно определить вес каждого мешка, достаточно взять:

• 1 монету из первого мешка,
• 2 монеты из второго,
• 3 из третьего,
• 4 из четвертого,
• 5 из пятого.

Итого: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ монет.