Найдите наименьшее натуральное число решения неравенства. (x-3)^2*(x^2-25)>=0

Для того чтобы решить неравенство $(x-3)^2(x^2-25) \geq 0$, начнем с того, что преобразуем выражение.

1. Раскроем скобки в $(x^2 - 25)$. Это можно записать как разность квадратов:

   $$x^2 - 25 = (x-5)(x+5).$$

   Таким образом, неравенство становится:

   $$(x-3)^2(x-5)(x+5) \geq 0.$$

2. Теперь рассмотрим поведение каждого множителя:

   • $(x-3)^2$ всегда неотрицательно, так как это квадрат. То есть $(x-3)^2 \geq 0$ для всех значений $x$.

   • $(x-5)$ и $(x+5)$ меняют знак в зависимости от $x$:

     • $(x-5)$ меняет знак при $x = 5$,

     • $(x+5)$ меняет знак при $x = -5$.

3. Чтобы определить, при каких значениях $x$ все произведение $(x-3)^2(x-5)(x+5) \geq 0$, рассмотрим интервал, на котором меняют знак множители. Расставим все критические точки: $x = -5$, $x = 3$ и $x = 5$.

4. Исследуем знак произведения на промежутках, разделённых этими точками:

   • При $x < -5$ все множители отрицательные, следовательно, произведение положительное, так как $(x-3)^2$ всегда положительно.

   • При $-5 < x < 3$ множитель $(x-5)$ отрицателен, а $(x+5)$ положителен. Произведение будет отрицательным.

   • При $3 < x < 5$ множитель $(x-5)$ отрицателен, а $(x+5)$ положителен. Произведение будет отрицательным.

   • При $x > 5$ все множители положительные, следовательно, произведение будет положительным.

5. Включаем точки, где произведение может быть нулевым:

   • При $x = 3$ произведение равно нулю, так как $(x-3)^2 = 0$.

   • При $x = -5$ и $x = 5$ произведение тоже равно нулю.

Таким образом, решением неравенства $(x-3)^2(x-5)(x+5) \geq 0$ будут значения $x$, которые лежат в объединении интервалов $(- \infty, -5]$, $[3, 5]$, $[5, +\infty)$.

Наименьшее натуральное число, которое является решением этого неравенства, это $x = 5$.

Ответ: 5.