Если натуральное число n поделить на 9/19, или на 18/17, или на 15/23, то получиться снова натуральное число.
Какое наименьшее значение может принимать число n?

Для того чтобы найти наименьшее значение $n$, удовлетворяющее условиям задачи, давайте разберёмся поэтапно.

Условие

Натуральное число $n$ при делении на каждую из следующих дробей:

1. $\frac{9}{19}$,
2. $\frac{18}{17}$,
3. $\frac{15}{23}$, должно давать натуральное число.

Это означает, что $n$ должно быть кратным обратным значениям этих дробей, то есть:

где $k, m, p$ — натуральные числа. Таким образом, $n$ должно быть кратным всем знаменателям обратных дробей:

Вывод условия кратности

1. Чтобы $n$ было делимое на $\frac{19}{9}$, $n$ должно быть кратно $19$.
2. Чтобы $n$ было делимое по . n divisors

Продолжим решение:

Для того чтобы $n$ при делении на $\frac{9}{19}$, $\frac{18}{17}$, и $\frac{15}{23}$ давало натуральное число, $n$ должно быть кратным числителям этих дробей ($19$, $17$, $23$) и одновременно числу, которое является наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей дробей ($9$, $18$, $15$).

Шаг 1: Найдём НОК знаменателей

Нам нужно найти НОК чисел $9$, $18$, $15$. Для этого разложим их на простые множители:

• $9 = 3^2$,
• $18 = 2 \cdot 3^2$,
• $15 = 3 \cdot 5$.

Наибольшие степени всех простых множителей:

Таким образом, $n$ должно быть кратно $90$.

Шаг 2: Найдём НОК числителей

Числители дробей — это $19$, $17$, $23$. Они являются простыми числами, и их наименьшее общее кратное равно их произведению:

Выполним вычисление:

Итак, $n$ должно быть кратно $7429$.

Шаг 3: Найдём общее кратное

Чтобы $n$ удовлетворяло условиям задачи, оно должно быть кратно как $90$, так и $7429$. Таким образом, нам нужно найти НОК этих двух чисел.

1. Разложим числа на простые множители:
   • $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$,
   • $7429 = 19 \cdot 17 \cdot 23$.
2. Поскольку $90$ и $7429$ не имеют общих делителей, их НОК равно их произведению:

Выполним вычисление:

Ответ

Наименьшее значение $n$, удовлетворяющее условиям задачи, равно 668610.