Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 м. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен 30°. Вычислить длину апофемы пирамиды.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $SABC$ с основанием $ABC$ (равносторонний треугольник). Высота пирамиды $SO = 8$ м, где $O$ — центр основания (точка пересечения медиан), то есть проекция вершины $S$ на плоскость основания.

Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, то есть отрезок от вершины $S$ к середине стороны основания. Обозначим $M$ — середина ребра $AB$. Тогда апофема — это $SM$.

Угол между плоскостью боковой грани $SAB$ и плоскостью основания $ABC$ равен $30^\circ$. Этот двугранный угол измеряется по линии их пересечения (по ребру $AB$). Чтобы связать его с отрезками, берём сечение плоскостью, перпендикулярной ребру $AB$ и проходящей через точки $S$ и $O$. Тогда:

• плоскость основания в этом сечении даёт прямую $OM$ (она лежит в основании и перпендикулярна $AB$);

• плоскость боковой грани $SAB$ в этом сечении даёт прямую $SM$ (это как раз высота грани к $AB$, то есть апофема).

Значит, угол между плоскостями равен углу между прямыми $SM$ и $OM$, то есть

Теперь посмотрим на треугольник $SOM$:

• $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания;

• $OM$ лежит в плоскости основания.

Следовательно, $SO \perp OM$, и треугольник $SOM$ прямоугольный с прямым углом при $O$.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ гипотенуза — это $SM$ (апофема), а против угла $\angle SMO$ лежит катет $SO$. Поэтому:

Подставляем данные:

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

Ответ: апофема пирамиды равна $16$ м.