Как найти множество корней уравнения 2х в 3 степени-8х во 2 степени+ 5х-20=0

Рассмотрим уравнение:

1) Попробуем найти рациональные корни

По теореме о рациональных корнях возможные рациональные корни имеют вид $\pm \frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена $-20$, а $q$ — делитель старшего коэффициента $2$.

Делители $20$: $1,2,4,5,10,20$.
Значит кандидаты:

То есть проверяем: $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm \frac12,\pm \frac52$.

Подставим несколько наиболее “простых”:

Проверка $x=4$

Значит $x=4$ — корень.

2) Делим многочлен на $(x-4)$

Теперь разложим кубический многочлен, вынеся найденный множитель $(x-4)$. Сделаем синтетическое деление (или “уголком”).

Коэффициенты: $2,\,-8,\,5,\,-20$. Делим на $x-4$:

• Сносим $2$.

• $2\cdot 4=8$, складываем с $-8$ → $0$.

• $0\cdot 4=0$, складываем с $5$ → $5$.

• $5\cdot 4=20$, складываем с $-20$ → $0$ (остаток 0, всё верно).

Получили:

3) Решаем оставшееся уравнение

Теперь исходное уравнение равносильно:

Отсюда два случая:

x-4=0 \Rightarrow x=4.
]

2x^2 + 5=0 \Rightarrow 2x^2 = -5 \Rightarrow x^2 = -\frac{5}{2}.
]

На множестве вещественных чисел уравнение $x^2 = -\frac{5}{2}$ решений не имеет (квадрат числа не бывает отрицательным).

Если же искать корни в комплексных числах:

4) Множество корней

• Вещественные корни:

• Комплексные корни: