Определить, какое из чисел больше: sin1(градусов) +sin4(градусов) или sin2(градусов) +sin3(градусов)

Ответы на вопрос

Отвечает Надолинный Олег.

Сравним два выражения:

A=\sin 1^\circ+\sin 4^\circ,\qquad B=\sin 2^\circ+\sin 3^\circ.

Используем формулу суммы синусов:

\sin x+\sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cdot \cos\frac{x-y}{2}.

\sin 1^\circ+\sin 4^\circ =2\sin\frac{1^\circ+4^\circ}{2}\cdot \cos\frac{1^\circ-4^\circ}{2} =2\sin 2.5^\circ\cdot \cos(-1.5^\circ).

Так как $\cos$ — чётная функция, $\cos(-1.5^\circ)=\cos 1.5^\circ$ . Значит

A=2\sin 2.5^\circ \cdot \cos 1.5^\circ.

\sin 2^\circ+\sin 3^\circ =2\sin\frac{2^\circ+3^\circ}{2}\cdot \cos\frac{2^\circ-3^\circ}{2} =2\sin 2.5^\circ\cdot \cos(-0.5^\circ) =2\sin 2.5^\circ\cdot \cos 0.5^\circ.

То есть

B=2\sin 2.5^\circ \cdot \cos 0.5^\circ.

Теперь видно, что общий множитель у обоих выражений один и тот же:

A = 2\sin 2.5^\circ \cdot \cos 1.5^\circ,\qquad B = 2\sin 2.5^\circ \cdot \cos 0.5^\circ.

Причём $\sin 2.5^\circ>0$ (угол острый). Значит знак сравнения зависит только от косинусов:

A \ ?\ B \quad \Longleftrightarrow \quad \cos 1.5^\circ \ ?\ \cos 0.5^\circ.

На промежутке $0^\circ$ – $180^\circ$ функция $\cos x$ убывает: чем больше угол, тем меньше косинус. А $1.5^\circ > 0.5^\circ$ , следовательно

\cos 1.5^\circ < \cos 0.5^\circ.

Умножая на положительный множитель $2\sin 2.5^\circ$ , получаем:

A < B.

Итак, больше число $\sin 2^\circ + \sin 3^\circ$ .

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос