Сумма 2, 4 и 6 членов арифметической прогрессии равна 18, а их произведение равно -167. Найти первый член и разность.

Рассмотрим арифметическую прогрессию, где первый член — это $a$, а разность прогрессии — это $d$.

Члены прогрессии можно записать так:

• 1-й член: $a$

• 2-й член: $a + d$

• 3-й член: $a + 2d$

• 4-й член: $a + 3d$

• 5-й член: $a + 4d$

• 6-й член: $a + 5d$

Из условия задачи известно, что сумма 2-го, 4-го и 6-го членов равна 18, а их произведение равно -167. Составим систему уравнений на основе этих данных.

Сумма 2-го, 4-го и 6-го членов:

Упростим:

Произведение 2-го, 4-го и 6-го членов:

Это более сложное уравнение, но его можно решить после того, как мы получим более простое выражение для $a$ и $d$.

Решение первой системы:

Из первого уравнения $a + 3d = 6$, выразим $a$:

Теперь подставим это значение в произведение:

Подставим $a = 6 - 3d$ в каждую скобку:

Теперь раскроем скобки. Начнем с первых двух множителей:

Теперь умножим полученный результат на третий множитель:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Теперь перенесем все в одну сторону:

Это кубическое уравнение, которое можно решить численно или через подставки для нахождения значения $d$.

Примерные решения для $d$ (через метод подбора) дают значения разности.