При каких значениях α формула tg(α + 2π) не имеет смысла

Формула $\tan \left( \frac{\alpha}{2\pi} \right)$ имеет смысл только при тех значениях $\alpha$, при которых аргумент тангенса не является кратным $\frac{\pi}{2}$, так как тангенс не существует для углов, равных $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число.

Давайте разберемся:

1. Тангенс определён как отношение синуса к косинусу:

   $$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.$$

   Он не существует в тех точках, где косинус равен нулю, то есть $\cos(x) = 0$. Косинус обращается в ноль при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число.

2. Теперь применим это к аргументу в нашей формуле $\frac{\alpha}{2\pi}$. Чтобы тангенс не существовал, аргумент $\frac{\alpha}{2\pi}$ должен быть равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, то есть:

   $$\frac{\alpha}{2\pi} = \frac{\pi}{2} + k\pi.$$

3. Умножив обе части уравнения на $2\pi$, получаем:

   $$\alpha = \pi + 2k\pi,$$

   где $k$ — целое число.

Таким образом, формула $\tan \left( \frac{\alpha}{2\pi} \right)$ не имеет смысла при значениях $\alpha = \pi + 2k\pi$, где $k$ — любое целое число.