Два класса с одинаковым количеством учеников написали контрольную. Проверив контрольные, строгий директор сказал, что он поставил двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли директор?

Да, директор ошибся.

Обозначим через $x$ количество двоек, а через $y$ количество всех остальных оценок.
По условию директор утверждает, что двоек было на 13 больше, чем остальных оценок, то есть

Тогда общее число проверенных работ равно

Число $2y$ всегда чётное, а чётное число плюс 13 даёт нечётное число. Значит, общее количество работ должно быть нечётным.

Но по условию контрольную писали два класса с одинаковым количеством учеников. Если в каждом классе учеников поровну, то общее число учеников равно

а это всегда чётное число.

Получается противоречие: одно и то же количество работ не может быть одновременно и чётным, и нечётным.

Следовательно, директор не мог быть прав.