Решите уравнение $(x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256$, используя метод введения новой переменной.

Ответы на вопрос

Отвечает Ковальчук Ірина.

Давайте решим уравнение

(x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256

методом введения новой переменной. Разберём решение шаг за шагом, как на форуме «пошаговое объяснение».

Шаг 1: Введение новой переменной

Заметим, что у нас есть два выражения: $x^2 + 8x$ и $x + 4$ . Попробуем ввести новую переменную через первое:

y = x^2 + 8x

Тогда уравнение превращается в:

y^2 - 4(x + 4)^2 = 256

Шаг 2: Выражение $(x + 4)^2$

Заметим, что:

x^2 + 8x = x^2 + 8x + 16 - 16 = (x + 4)^2 - 16

То есть:

y = (x + 4)^2 - 16 \implies (x + 4)^2 = y + 16

Подставляем это в уравнение:

y^2 - 4(y + 16) = 256

Шаг 3: Приведение к квадратному уравнению

Раскроем скобки:

y^2 - 4y - 64 = 256

Переносим 256 в левую часть:

y^2 - 4y - 320 = 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение:

y^2 - 4y - 320 = 0

Дискриминант:

D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296

Корни:

y = \frac{4 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{4 \pm 36}{2}

Получаем два значения:

y_1 = \frac{4 + 36}{2} = 20, \quad y_2 = \frac{4 - 36}{2} = -16

Шаг 5: Возврат к $x$

Напомним, что $y = x^2 + 8x$ .

x^2 + 8x - 20 = 0

Дискриминант:

D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144

Корни:

x = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 \pm 12}{2}

x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8 - 12}{2} = -10

x^2 + 8x + 16 = 0

Это полный квадрат:

(x + 4)^2 = 0 \implies x = -4

Шаг 6: Ответ

Все решения:

\boxed{x = -10, \; x = -4, \; x = 2}

Последние заданные вопросы в категории Математика

Решите уравнение \((x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256\), используя метод введения новой переменной.