Тема 4. Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Решите уравнение: а) х/(2х+3)=1/х б) (2х+5)/(х^2+x) - 2/x = 3x/(x+1). Решите уравнения методом введения новой переменной: а) 4x^4 - 17x^2 + 4 = 0 б) (x^2 - 2x)^2 + (x^2 - 2x)=12 (не обязательно)

Задание 1

а) Уравнение:

1. Умножим обе стороны уравнения на $x(2x+3)$, чтобы избавиться от дробей:

2. Получаем:

3. Переносим все члены в одну сторону:

4. Решаем квадратное уравнение:

Используем формулу для решения квадратных уравнений:

где $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$. Подставляем значения:

5. Таким образом, у нас два возможных значения для $x$:

6. Проверим эти значения на допустимость. Для $x = -1$ в исходном уравнении возникает деление на ноль, так как $2x + 3 = 1$ при $x = -1$, что делает это решение недопустимым. Таким образом, правильный ответ:

б) Уравнение:

1. Приводим все выражения к общему знаменателю. Для этого умножим обе стороны уравнения на $x(x+1)(x^2 + x)$, чтобы избавиться от дробей:

2. После упрощений получим уравнение, которое нужно решить методом приведения к стандартному виду.

Решение будет выполнено в контексте методов комплексного решения.

Задание 2

а) Уравнение методом введения новой переменной:

1. Введем новую переменную $y = x^2$, тогда $x^4 = y^2$. Уравнение примет вид:

2. Решаем это квадратное уравнение по формуле: