С6. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценки – целое число баллов от 1 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили

различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг фильма определяется как среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг фильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и считается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна 1/20 ?

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна 1/35?

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Задача требует детального анализа разницы между рейтингами фильма, вычисленными по старой и новой системе оценивания, с учётом того, что оценки всех экспертов различны и принимают целые значения от 1 до 12. Рассмотрим каждую часть вопроса поочередно.

Часть а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна $\frac{1}{20}$?

Для начала давайте рассмотрим, как вычисляются рейтинги:

• Старая система: рейтинг вычисляется как среднее арифметическое всех оценок, то есть:

  $$R_{\text{стар}} = \frac{S}{7}$$

  где $S$ — сумма всех 7 оценок.

• Новая система: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и рейтинг вычисляется как среднее арифметическое оставшихся 5 оценок:

  $$R_{\text{нов}} = \frac{S - \text{мин} - \text{макс}}{5}$$

  где $\text{мин}$ и $\text{макс}$ — наименьшая и наибольшая оценки соответственно.

Теперь, разность между рейтингами будет:

Для того чтобы эта разность была равна $\frac{1}{20}$, должно выполняться следующее равенство:

Преобразуем это уравнение. Для удобства умножим обе части уравнения на 140 (наименьшее общее кратное 7, 5 и 20):

Раскроем скобки:

Упростим:

или

Это уравнение должно быть выполнено для целых значений $S$, $\text{мин}$ и $\text{макс}$. Однако, поскольку сумма оценок и разница между ними должны быть целыми числами, а 7 в правой части уравнения является простым числом, это уравнение маловероятно для целых чисел $S$, $\text{мин}$ и $\text{макс}$. Поэтому, разность не может быть равна $\frac{1}{20}$.

Ответ на часть а): Нет, разность рейтингов не может быть равна $\frac{1}{20}$.

Часть б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равна $\frac{1}{35}$?

Похожим образом, для разности $\Delta R = \frac{1}{35}$ мы получим аналогичное уравнение:

Умножим обе части на 35, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Упростим:

или

Аналогично предыдущему случаю, уравнение с правой частью, равной $-1$, маловероятно при целых значениях. Таким образом, разность также не может быть равна $\frac{1}{35}$.

Ответ на часть б): Нет, разность рейтингов не может быть равна $\frac{1}{35}$.

Часть в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Для максимальной разницы рейтингов нам нужно постараться сделать разницу между средним по старой системе и средним по новой системе как можно большей. Это можно достичь, если:

• Оценки экспертов будут максимально разные.
• Наибольшая разница между суммой оценок и разностью оценок в новой и старой системе будет для максимально удалённых значений.

Предположим, что 7 оценок распределены максимально разрозненно, например, это будут оценки 1, 2, 3, 4, 5, 11, 12. Тогда:

• Сумма всех оценок $S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 11 + 12 = 38$.
• Среднее по старой системе: $$R_{\text{стар}} = \frac{38}{7} \approx 5.43$$
• Для новой системы мы убираем минимальную (1) и максимальную (12) оценки, получаем оценки 2, 3, 4, 5, 11, сумма которых $2 + 3 + 4 + 5 + 11 = 25$. $$R_{\text{нов}} = \frac{25}{5} = 5$$
• Разность между рейтингами: