Бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(а) округлили до сотых и получили число 0,63. Найдите число а, если известно, что оно двузначное.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

У нас есть бесконечная периодическая десятичная дробь:

где $a$ — двузначное число, повторяющееся бесконечно, например $0,ababab...$. Нам известно, что округление до сотых даёт:

Шаг 1. Понимание округления

Округление до сотых означает, что мы берём первые две цифры после запятой и смотрим на третью:

• Если третья цифра ≥ 5 → вторая цифра увеличивается на 1.

• Если третья цифра < 5 → вторая цифра остаётся прежней.

Пусть $a = xy$, где $x$ и $y$ — цифры (от 0 до 9). Тогда наша дробь:

Шаг 2. Составим неравенство для округления

Для того чтобы округление до сотых дало 0,63, число должно быть в диапазоне:

Почему? Потому что:

• Наименьшее число, которое округляется до 0,63 — это 0,625 (если меньше — округлится до 0,62)

• Наибольшее число, которое всё ещё округляется до 0,63 — это чуть меньше 0,635 (0,635 уже округляется до 0,64)

Шаг 3. Выражаем дробь через $a = xy$

Дробь $0,(xy)$ можно записать как дробь:

Так как, например, $0,(12) = \frac{12}{99} \approx 0,1212...$

Обозначим $a = xy$. Тогда:

Шаг 4. Преобразуем неравенство

Подставим $\frac{a}{99}$:

Умножаем на 99:

Считаем:

• $0,625 \cdot 99 = 61,875$

• $0,635 \cdot 99 = 62,865$

То есть:

Так как $a$ — целое двузначное число, остаётся:

✅ Шаг 5. Проверка

Если $a = 62$:

Округление до сотых:

• Первая сотая: 6, вторая: 2, третья: 6

• Так как третья цифра 6 ≥ 5 → вторая цифра увеличивается на 1

• Получаем 0,63 ✔

Ответ