Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: 0,9(4), 1,23(12), 4,01(11), 14,14(303).

Чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, нужно воспользоваться определённой методикой. Рассмотрим каждый из приведённых примеров.

1. 0,9(4)
   Данная дробь выглядит как $0,944444...$, где "4" — это период. Обозначим дробь как $x = 0,9(4)$.

   Шаги:

   $$x = 0,9 + 0,0(4)$$

   Пусть $y = 0,0(4)$, тогда $y = 0,44444...$.

   Для нахождения обыкновенной дроби для $y$:

   $$10y = 4,44444...$$ $$10y - y = 4$$ $$9y = 4$$ $$y = \frac{4}{9}$$

   Теперь для $x = 0,9 + y$:

   $$x = 0,9 + \frac{4}{9} = \frac{9}{10} + \frac{4}{9}$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$x = \frac{81}{90} + \frac{40}{90} = \frac{121}{90}$$

   Таким образом, $0,9(4) = \frac{121}{90}$.

2. 1,23(12)
   Здесь дробь выглядит как $1,23121212...$, где "12" — это период. Обозначим дробь как $x = 1,23(12)$.

   Шаги:

   $$x = 1,23 + 0,0(12)$$

   Пусть $y = 0,0(12)$, тогда $y = 0,121212...$.

   Для нахождения обыкновенной дроби для $y$:

   $$100y = 12,121212...$$ $$100y - y = 12$$ $$99y = 12$$ $$y = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$$

   Теперь для $x = 1,23 + y$:

   $$x = 1,23 + \frac{4}{33} = \frac{123}{100} + \frac{4}{33}$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$x = \frac{409}{330} + \frac{40}{330} = \frac{449}{330}$$

   Таким образом, $1,23(12) = \frac{449}{330}$.

3. 4,01(11)
   Здесь дробь выглядит как $4,011111...$, где "11" — это период. Обозначим дробь как $x = 4,01(11)$.

   Шаги:

   $$x = 4,01 + 0,0(11)$$

   Пусть $y = 0,0(11)$, тогда $y = 0,111111...$.

   Для нахождения обыкновенной дроби для $y$:

   $$10y = 1,111111...$$ $$10y - y = 1$$ $$9y = 1$$ $$y = \frac{1}{9}$$

   Теперь для $x = 4,01 + y$:

   $$x = 4,01 + \frac{1}{9} = \frac{401}{100} + \frac{1}{9}$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$x = \frac{3609}{900} + \frac{100}{900} = \frac{3709}{900}$$