Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе

Ответы на вопрос

Отвечает Іванов Даніл.

Для решения этой задачи обозначим два числа через $x$ и $y$ .

x \cdot y = 15 \cdot (x + y)

Второе условие, что если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100, записываем так:

x + 2y = 100

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\begin{cases} x \cdot y = 15 \cdot (x + y) \\ x + 2y = 100 \end{cases}

x = 100 - 2y

(100 - 2y) \cdot y = 15 \cdot ((100 - 2y) + y)

Упростим обе части:

(100 - 2y) \cdot y = 15 \cdot (100 - y)

Раскроем скобки:

100y - 2y^2 = 1500 - 15y

Переносим все элементы на одну сторону:

100y - 2y^2 + 15y - 1500 = 0

-2y^2 + 115y - 1500 = 0

Умножим на $-1$ , чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2y^2 - 115y + 1500 = 0

Используем формулу для решения квадратных уравнений:

y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Здесь $a = 2$ , $b = -115$ , $c = 1500$ . Подставим эти значения:

y = \frac{-(-115) \pm \sqrt{(-115)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1500}}{2 \cdot 2}

y = \frac{115 \pm \sqrt{13225 - 12000}}{4}

y = \frac{115 \pm \sqrt{225}}{4}

y = \frac{115 \pm 15}{4}

Теперь находим два возможных значения для $y$ :

y_1 = \frac{115 + 15}{4} = \frac{130}{4} = 32.5

y_2 = \frac{115 - 15}{4} = \frac{100}{4} = 25

Для $y = 32.5$ :

x = 100 - 2 \cdot 32.5 = 100 - 65 = 35

Для $y = 25$ :

x = 100 - 2 \cdot 25 = 100 - 50 = 50

Проверим оба случая.

Если $x = 35$ , $y = 32.5$ :
- Произведение: $35 \cdot 32.5 = 1137.5$
- Сумма: $35 + 32.5 = 67.5$
- 15 раз сумма: $15 \cdot 67.5 = 1012.5$
  Здесь произведение не равно 15 раз сумме, значит этот вариант не подходит.
Если $x = 50$

Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100. Найдите эти числа.