Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, а сумма третьего и четвертого членов равна -28. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию, в которой первый член равен $a$, а знаменатель прогрессии равен $r$.

Обозначим:

• $a_1 = a$ — первый член прогрессии,

• $a_2 = a r$ — второй член,

• $a_3 = a r^2$ — третий член,

• $a_4 = a r^3$ — четвертый член,

• $a_5 = a r^4$ — пятый член.

Из условия задачи мы имеем два уравнения:

1. Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, то есть:

Можно вынести общий множитель $a r^3$:

2. Сумма третьего и четвертого членов равна -28, то есть:

Вынесем общий множитель $a r^2$:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $a r^3 (r - 1) = 168$,

2. $a r^2 (1 + r) = -28$.

Решим эту систему.

Шаг 1. Из второго уравнения выразим $a$:

Шаг 2. Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение:

Упростим:

Теперь умножим обе части на $(1 + r)$, чтобы избавиться от знаменателя:

Раскроем скобки:

Переносим все элементы в одну сторону:

Упростим:

Разделим обе части на -28:

Решим это квадратное уравнение:

Таким образом, $r = -2$ или $r = -3$.

Шаг 3. Найдем $a$ для каждого значения $r$.

Для $r = -2$:

Подставим в выражение для $a$:

Для $r = -3$:

Подставим в выражение для $a$: