Как найти наибольшее значение выражения \( 3x^2 - 8xy + 2y^2 \), если \( y - x = 1 \)?

Так как дано условие $y - x = 1$, выразим $y$ через $x$:

Подставим это в выражение

Получим:

Раскроем скобки:

Теперь упростим:

Соберём подобные слагаемые:

Теперь нужно найти наибольшее значение квадратичной функции

Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный, парабола направлена ветвями вниз, значит, у неё есть наибольшее значение.

Выделим полный квадрат:

Внутри скобок выделим квадрат:

Тогда

Так как квадрат всегда неотрицателен,

то выражение

не больше нуля. Значит, максимальное значение достигается, когда

то есть

Тогда

Наибольшее значение выражения равно