Катя и Таня вместе могут вымыть окно за 15 минут. Таня и Настя могут вымыть это же окно за 21 минуту. Настя и Катя вымоют это окно за 35 минут. За сколько минут могут вымыть окно Катя, Таня и Настя, если будут мыть его вместе?

Чтобы найти время, за которое Катя, Таня и Настя смогут вымыть окно, если будут работать вместе, сначала определим их скорости работы (сколько окна они могут вымыть за 1 минуту).

Обозначим скорости работы:

• $K$ — скорость Кати (сколько окна она вымывает за 1 минуту),
• $T$ — скорость Тани,
• $N$ — скорость Насти.

Итак, нам даны следующие данные:

1. Катя и Таня могут вымыть окно за 15 минут. Значит, их совместная скорость:
   $K + T = \frac{1}{15}$

2. Таня и Настя могут вымыть окно за 21 минуту. Их совместная скорость:
   $T + N = \frac{1}{21}$

3. Настя и Катя могут вымыть окно за 35 минут. Их совместная скорость:
   $N + K = \frac{1}{35}$

Теперь у нас есть система из трёх уравнений:

Для нахождения общей скорости $K + T + N$, сложим все три уравнения:

Слева получаем $2(K + T + N)$, то есть:

Теперь найдём общий знаменатель для дробей $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{21}$ и $\frac{1}{35}$. Нахождение НОД этих чисел даёт 105, так что общий знаменатель будет 105:

Теперь сложим эти дроби:

Получаем:

Теперь разделим обе стороны на 2:

То есть, если все трое будут работать вместе, их совместная скорость составит $\frac{1}{14}$, и они смогут вымыть окно за 14 минут.

Ответ: Катя, Таня и Настя могут вымыть окно за 14 минут, если будут работать вместе.