22. Построй график функции  { y = − x 2 , если ∣ x ∣ ≤ 1 , y = ∣ x ∣ − 2 , если ∣ x ∣ > 1 { y=−x 2 ,если∣x∣≤1, y=∣x∣−2,если∣x∣>1 ​  и определи, при каких значениях  m m функция  y = m y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию

Нужно понять, при каких значениях параметра $m$ горизонтальная прямая

имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Функция состоит из двух частей.

При $|x|\le 1$, то есть на отрезке $[-1;1]$, график задаётся формулой

Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. На этом отрезке она проходит через точки:

То есть значения этой части графика лежат от $-1$ до $0$:

При $|x|>1$ график задаётся формулой

Это две внешние части графика модуля:

и

Эти лучи начинаются около точек $(1;-1)$ и $(-1;-1)$, но сами точки $x=\pm1$ уже входят в первую часть графика, поэтому на всём графике точки $(-1;-1)$ и $(1;-1)$ присутствуют.

Теперь посмотрим, сколько точек пересечения может быть у прямой $y=m$ с графиком.

1. Если $m<-1$, то прямая проходит ниже всего графика. Общих точек нет.

2. Если $m=-1$, то прямая проходит через точки

Получается 2 общие точки.

3. Если $-1$, то прямая пересекает параболу $y=-x^2$ в двух точках и внешние лучи $y=|x|-2$ тоже в двух точках. Всего получается 4 общие точки.

4. Если $m=0$, то с параболой есть одна общая точка:

А с внешними лучами:

откуда

То есть ещё две точки:

Всего при $m=0$ получается ровно 3 общие точки.

5. Если $m>0$, то с параболой пересечений нет, потому что на участке $[-1;1]$ значения $y=-x^2$ не больше нуля. А с внешними лучами будет две точки пересечения. Значит, всего 2 общие точки.

Итак, ровно три общие точки получаются только при