Постройте график функции y = x^2 - 8x - 4|x - 3| + 15 и определите при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки

Для того чтобы решить эту задачу, нужно понять, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ пересекает график функции $y = f(x) = x^2 - 8x - 4|x - 3| + 15$ ровно в трёх точках. Для этого будем разбирать функцию по частям и анализировать её поведение.

Шаг 1: Разбор функции

Функция $f(x)$ состоит из двух частей: квадратичной и модульной. Мы можем рассматривать её в зависимости от значения выражения $|x - 3|$, что влияет на вид функции.

1. Когда $x \geq 3$:

   Модуль $|x - 3| = x - 3$, и тогда функция принимает вид:

   $$f(x) = x^2 - 8x - 4(x - 3) + 15$$

   Упростим её:

   $$f(x) = x^2 - 8x - 4x + 12 + 15 = x^2 - 12x + 27$$

   Таким образом, для $x \geq 3$ функция представляет собой параболу $y = x^2 - 12x + 27$.

2. Когда $x < 3$:

   Модуль $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$, и функция будет иметь вид:

   $$f(x) = x^2 - 8x - 4(3 - x) + 15$$

   Упростим:

   $$f(x) = x^2 - 8x - 12 + 4x + 15 = x^2 - 4x + 3$$

   Таким образом, для $x < 3$ функция также является параболой, но с другой константой: $y = x^2 - 4x + 3$.

Шаг 2: Построение графика функции

Теперь у нас есть две части графика функции:

• Для $x \geq 3$: парабола $y = x^2 - 12x + 27$.
• Для $x < 3$: парабола $y = x^2 - 4x + 3$.

Каждая из этих парабол открывается вверх, но они имеют разные вершины и коэффициенты, так что их графики будут выглядеть по-разному.

1. Парабола для $x \geq 3$ имеет вершину в точке $x = 6$ (по формуле для вершины $x = -\frac{b}{2a}$ для квадратичной функции $ax^2 + bx + c$).
2. Парабола для $x < 3$ имеет вершину в точке $x = 2$.

Шаг 3: Условия для трёх общих точек

Прямая $y = m$ будет пересекать график функции $y = f(x)$ в точках, где $f(x) = m$. Чтобы прямая пересекала график ровно в трёх точках, нужно, чтобы:

1. Прямая пересекала одну из парабол в двух точках.
2. Прямая пересекала другую параболу в одной точке.

Это может произойти, если прямая проходит через одну из вершин парабол или близко к ним, но не выше. Рассмотрим две ситуации:

• Прямая пересекает левую параболу (для $x < 3$) в две точки. Это может случиться, если $m$ примерно равно значению функции в точке, где парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет минимум (вершина). Мы можем найти значение $f(2)$, это и будет минимальное значение для $x < 3$.

  Для $x = 2$:

  $$f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

  Таким образом, минимальное значение функции для $x < 3$ равно $-1$.

• Прямая пересекает правую параболу (для $x \geq 3$) в одну точку. Здесь важно заметить, что для значений $m$, близких к вершине правой параболы, она будет иметь только одно пересечение. Вершина правой параболы находится в точке $x = 6$, и значение функции в этой точке:

  $$f(6) = 6^2 - 12(6) + 27 = 36 - 72 + 27 = -9$$

Таким образом, прямая $y = m$ может пересекать график функции в трёх точках, если $m$ находится в интервале $-9 < m < -1$. В этом случае прямая будет пересекать левую параболу в двух точках и правую параболу в одной точке.

Ответ:

Прямая $y = m$ будет иметь с графиком функции $y = x^2 - 8x - 4|x - 3| + 15$