Как можно письменно доказать возрастание или убывание функции y = 1/x?

Чтобы письменно доказать, что функция $y = \frac{1}{x}$ возрастает или убывает, можно использовать несколько математических подходов: через производную или через сравнение значений функции на разных интервалах. Разберём подробно.

1. Использование производной

Функция $y = \frac{1}{x}$ определена для $x \neq 0$. Чтобы понять, возрастает она или убывает, найдём её производную:

Согласно правилу дифференцирования:

Теперь анализируем знак производной:

• Для $x > 0$, $x^2 > 0 \Rightarrow -\frac{1}{x^2} < 0$.
  Значит, на интервале $(0, +\infty)$ функция убывает.

• Для $x < 0$, $x^2 > 0 \Rightarrow -\frac{1}{x^2} < 0$.
  Здесь тоже $y' < 0$, значит, на интервале $(-\infty, 0)$ функция также убывает.

Таким образом, на любом интервале, где функция определена, её производная отрицательна, а значит, функция всегда убывает.

2. Использование сравнения значений (сравнение двух точек)

Можно доказать убывание функции без производной, сравнивая значения функции в двух точках $x_1$ и $x_2$, где $x_1 < x_2$.

• Для $x > 0$:

Значит, при увеличении $x$ значение функции уменьшается, что подтверждает убывание на $(0, +\infty)$.

• Для $x < 0$:

так как отрицательные числа делятся на 1, и чем ближе к нулю, тем больше значение.
Таким образом, на $(-\infty, 0)$ функция также убывает.

Вывод

• На интервале $x > 0$: функция $y = \frac{1}{x}$ убывает.

• На интервале $x < 0$: функция $y = \frac{1}{x}$ убывает.

Это доказано как через производную, так и через сравнение значений функции.

Если хочешь, могу нарисовать маленький график с объяснением, как видно убывание на положительной и отрицательной оси.