Все натуральные числа раскрасили в три цвета. Число 1 стало красным, 2- синим, 3-зелёным,4-красным,5-синим, 6 - зелёным, и так далее. Какого цвета может быть сумма красного и синего чисел? ЗАДАЧУ ДОКАЖИТЕ В ОБЩЕМ ВВИДЕ

В задаче говорится, что натуральные числа раскрасили в три цвета с определённой периодичностью. Если 1 — красное, 2 — синее, 3 — зелёное, то, очевидно, что каждый следующий элемент цикла через каждые три числа будет снова красным, синим и зелёным соответственно. То есть раскраска будет повторяться каждые три числа: красное, синее, зелёное, и снова.

Теперь обозначим:

• $R$ — любое красное число (например, 1, 4, 7, ...),
• $B$ — любое синее число (например, 2, 5, 8, ...),
• $G$ — любое зелёное число (например, 3, 6, 9, ...).

Анализ задачи

Каждое красное число, синее и зелёное находится на своих позициях: $R$ соответствует числам вида $3n + 1$, $B$ — числам вида $3n + 2$, и $G$ — числам вида $3n$ (где $n$ — целое число). Эти позиции не меняются и дают нам точное понимание, к какому цвету относится любое число в зависимости от его остатка при делении на 3.

Нам нужно выяснить, какого цвета будет сумма одного красного числа и одного синего числа.

Решение

Пусть $R = 3k + 1$ (любое красное число) и $B = 3m + 2$ (любое синее число), где $k$ и $m$ — целые числа.

Сумма $R + B$ будет:

Полученная сумма $R + B$ является числом, которое делится на 3 без остатка, то есть оно имеет вид $3n$ для некоторого целого $n = k + m + 1$.

Так как числа вида $3n$ по нашей раскраске являются зелёными, то сумма любого красного и синего числа будет зелёного цвета.

Ответ

Сумма красного и синего чисел всегда будет зелёного цвета.