1) В пятиэтажном доме живут друзья Лера, Света, Ира, Рома, Сеня и Марат. Докажи, что хотя бы двое друзей живут на одном этаже. 2) Подумай, сколько должно быть друзей, чтобы на одном этаже жили хотя бы трое из них. При ответе на этот вопрос ученики предложили такие ответы: Лена: «Друзей должно быть 7». Олег: «Друзей должно быть 11». Объясни, какой из ответов ты считаешь верным. 3) Придумай свою похожую задачу и предложи её одноклассникам.

1) В доме 5 этажей, а друзей 6. Если бы на каждом этаже жил не больше один друг, то всего друзей было бы не больше 5. Но их 6, значит, хотя бы двое живут на одном этаже.

Это пример принципа Дирихле: если предметов больше, чем ящиков, то в каком-то ящике окажется больше одного предмета. Здесь друзья — это предметы, а этажи — ящики.

2) Чтобы точно на одном этаже жили хотя бы трое друзей, нужно 11 друзей.

Почему 7 недостаточно: можно расселить так, что на двух этажах живут по 2 друга, а на остальных трёх этажах по 1 другу. Получится \( 2+2+1+1+1=7 \), но троих на одном этаже нет.

Почему 11 достаточно: если на каждом из 5 этажей живёт не больше 2 друзей, то всего друзей не больше:

\[ 5\cdot2=10 \]

А если друзей 11, то где-то обязательно окажется хотя бы 3 друга. Значит, прав Олег.

3) Похожая задача: в коробке лежат карандаши 4 цветов. Сколько нужно взять карандашей, чтобы среди них точно оказалось хотя бы 3 карандаша одного цвета?

Ответ: \( 4\cdot2+1=9 \). Если взять 8, можно получить по 2 карандаша каждого цвета, а при 9 карандашах какой-то цвет встретится хотя бы 3 раза.

0 0 Пожаловаться