Найдите наибольшее семизначное натуральное число, делящееся на 11, в записи которого использованы только цифры 4 и 8.​

Чтобы найти наибольшее семизначное число, делящееся на 11, в записи которого используются только цифры 4 и 8, можно воспользоваться следующим методом:

1. Составим общую структуру числа: Нам нужно семизначное число, состоящее только из цифр 4 и 8. Такие числа находятся в диапазоне от 4444444 до 8888888.

2. Условие делимости на 11: Число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах делится на 11 (то есть равна 0 или кратна 11). Обозначим это как:

   $$S_1 - S_2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 11),$$

   где $S_1$ — сумма цифр на нечётных позициях, а $S_2$ — сумма цифр на чётных позициях.

3. Постепенный перебор чисел: Начнём с наибольшего семизначного числа, составленного из цифр 4 и 8, то есть 8888888, и будем проверять, делится ли оно на 11. Если оно не подходит, будем постепенно уменьшать число, заменяя крайние справа цифры на 4, пока не найдём подходящее.

4. Проверка для 8888848: Рассмотрим число 8888848, так как это одно из наибольших возможных чисел, в котором соблюдается чередование цифр 8 и 4. Для него:

   • Чётные позиции: 8 + 8 + 4 = 20,
   • Нечётные позиции: 8 + 8 + 8 + 8 = 32.
   • Разность $32 - 20 = 12$, которая не делится на 11, поэтому это число не подходит.

5. Проверка для числа 8888448: Рассмотрим следующее возможное число — 8888448.

   • Чётные позиции: 8 + 8 + 8 = 24,
   • Нечётные позиции: 8 + 8 + 4 = 20.
   • Разность $24 - 20 = 4$, тоже не делится на 11.

6. Поиск подходящего числа: Путём последовательных проверок можно обнаружить, что число 8848848 соответствует всем условиям:

   • Чётные позиции: $8 + 8 + 4 = 20$,
   • Нечётные позиции: $8 + 4 + 8 = 20$.
   • Разность $20 - 20 = 0$, делится на 11.

Таким образом, наибольшее семизначное натуральное число, состоящее только из цифр 4 и 8 и делящееся на 11, — это 8848848.