Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \), \( x = 7 \), \( y = 0 \) вокруг оси \( OX \).

Давай разберём этот пример шаг за шагом, как на сайте с вопросами и ответами, чтобы было понятно и подробно.

Нам нужно найти объём тела вращения, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

вокруг оси OX.

1. Определяем форму интеграла

Когда фигура вращается вокруг оси OX, удобно использовать метод дисков. Формула объёма тела вращения методом дисков:

где $f(x)$ — это расстояние от оси вращения до кривой (в данном случае — высота функции над осью OX), а $x$ меняется от $a$ до $b$.

2. Подставляем функцию и пределы интегрирования

• Функция: $y = f(x) = x^2$

• Нижний предел: $x = 0$ (так как фигура ограничена линией $y=0$)

• Верхний предел: $x = 7$

Таким образом, интеграл примет вид:

3. Упрощаем подынтегральное выражение

Следовательно:

4. Вычисляем интеграл

Интеграл от $x^4$ равен:

Подставляем пределы:

Вычислим $7^5$ шаг за шагом:

1. $7^2 = 49$

2. $7^3 = 7^2 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$

3. $7^4 = 343 \cdot 7 = 2401$

4. $7^5 = 2401 \cdot 7 = 16807$

Значит, интеграл равен:

5. Умножаем на $\pi$

✅ 6. Ответ

Если хочешь, можно ещё записать численно:

Объём тела вращения равен примерно 10560.9 единиц³.