Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=√x, y=0, x=0, x=1.

Для нахождения объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, можно использовать метод цилиндрических оболочек или метод дисков.

В данном случае, мы рассмотрим метод дисков.

Тело ограничено функциями:

• $y = \sqrt{x}$ (верхняя граница),

• $y = 0$ (нижняя граница),

• $x = 0$ и $x = 1$ (пределы по оси $x$).

Объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс, можно вычислить по формуле для объема вращающегося тела:

где:

• $f(x) = \sqrt{x}$ — функция, определяющая радиус сечения на каждом значении $x$,

• $a = 0$ и $b = 1$ — пределы интегрирования.

Подставляем $f(x) = \sqrt{x}$ в формулу для объема:

Теперь вычислим интеграл:

Таким образом, объем будет равен:

Ответ: объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, равен $\frac{\pi}{2}$ кубических единиц.