Вася и Петя выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Докажите, что какие 6ы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 4.Помогите,пожалуйстаааа

Чтобы доказать, что Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся 12-значное число делилось на 4, независимо от цифр, которые будет писать Вася, давайте разберёмся, что такое делимость на 4 и как её можно обеспечить.

Шаг 1: Условие делимости на 4

Для того чтобы число делилось на 4, достаточно, чтобы его последние две цифры составляли число, делящееся на 4. Например:

• Числа 12, 24, 36 делятся на 4, так как последние две цифры этих чисел делятся на 4.
• Числа 13, 25, 37 не делятся на 4, так как их последние две цифры не делятся на 4.

Таким образом, для любого 12-значного числа достаточно, чтобы две последние цифры образовали число, делящееся на 4.

Шаг 2: Стратегия Пети

Теперь, зная это правило, Петя может выбрать стратегию. Он пишет цифры после Васи, и его задача – управлять парой последних цифр в числе. В процессе игры Васе и Пете необходимо записать 12 цифр. Важно, что последнюю, 12-ю цифру, записывает Петя.

Шаг 3: Возможные случаи

Рассмотрим любые последние две цифры. Пусть перед последним ходом у нас есть 11-значное число, где 11-я цифра уже записана Васей, а последнюю, 12-ю цифру, будет записывать Петя. У Пети есть возможность выбрать любую цифру от 0 до 9 в зависимости от того, какое число получится с последней парой цифр. Давайте посмотрим, как это работает:

1. Пусть Вася написал какую-то цифру в предпоследний (11-й) разряд, обозначим её $x$.
2. Теперь Петя может выбрать такую цифру $y$, чтобы число, составленное из двух последних цифр $xy$, делилось на 4.

Например:

• Если Вася написал 1 в предпоследний разряд, Петя может поставить 2, чтобы получить число 12, которое делится на 4.
• Если Вася написал 3 в предпоследний разряд, Петя может поставить 6, чтобы получить число 36, которое также делится на 4.

Шаг 4: Универсальность стратегии Пети

Для любого числа от 0 до 9, которое напишет Вася на 11-й позиции, всегда найдётся хотя бы одна цифра, которую может выбрать Петя на 12-й позиции, чтобы получившееся двухзначное число делилось на 4. Поскольку вариантов для цифр всего 10, Петя всегда сможет найти подходящую цифру для каждой возможной цифры Васи.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что Петя всегда сможет добиться того, чтобы 12-значное число, записанное ими, делилось на 4. Это справедливо независимо от цифр, которые пишет Вася, так как последняя цифра всегда контролируется Петей, и он может подобрать её так, чтобы обеспечить делимость на 4 для всего числа.