Проведите полное исследование и постройте график функции:
y = (x^2 - 3) / (x^2 - 9)

Дана функция:

\[ y=\frac{x^2-3}{x^2-9} \]

1. Область определения

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x^2-9\ne0 \]

\[ x\ne -3, \quad x\ne 3 \]

Значит, область определения:

\[ D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty) \]

2. Чётность

В функции есть только \( x^2 \), поэтому:

\[ f(-x)=f(x) \]

Функция чётная, её график симметричен относительно оси \( Oy \).

3. Нули функции

Нули находятся из числителя:

\[ x^2-3=0 \]

\[ x=\pm\sqrt3 \]

Точки пересечения с осью \( Ox \): \( (-\sqrt3;0) \) и \( (\sqrt3;0) \).

4. Пересечение с осью \( Oy \)

Подставим \( x=0 \):

\[ y=\frac{-3}{-9}=\frac13 \]

Точка пересечения с осью \( Oy \): \( \left(0;\frac13\right) \).

5. Асимптоты

При \( x=-3 \) и \( x=3 \) знаменатель обращается в нуль, поэтому это вертикальные асимптоты:

\[ x=-3, \quad x=3 \]

Степени числителя и знаменателя равны, поэтому горизонтальная асимптота равна отношению старших коэффициентов:

\[ y=1 \]

6. Производная и монотонность

Найдём производную:

\[ y'=\frac{2x(x^2-9)-2x(x^2-3)}{(x^2-9)^2} \]

\[ y'=\frac{-12x}{(x^2-9)^2} \]

Знаменатель всегда положителен на области определения, поэтому знак производной зависит от \( -x \).

• при \( x<0 \): \( y'>0 \), функция возрастает;
• при \( x>0 \): \( y'<0 \), функция убывает.

С учётом разрывов:

• возрастает на \( (-\infty;-3) \) и \( (-3;0) \);
• убывает на \( (0;3) \) и \( (3;+\infty) \).

7. Экстремум

Производная равна нулю при \( x=0 \). Значение функции:

\[ y(0)=\frac13 \]

Так как функция сначала возрастает, а потом убывает, в точке \( x=0 \) есть максимум:

\[ \left(0;\frac13\right) \]

8. Поведение около асимптот

• при \( x\to -3- \), \( y\to +\infty \);
• при \( x\to -3+ \), \( y\to -\infty \);
• при \( x\to 3- \), \( y\to -\infty \);
• при \( x\to 3+ \), \( y\to +\infty \).

9. Как построить график

Отметьте вертикальные асимптоты \( x=-3 \) и \( x=3 \), горизонтальную асимптоту \( y=1 \), точки \( (-\sqrt3;0) \), \( (\sqrt3;0) \), \( \left(0;\frac13\right) \). Затем постройте три ветви графика: слева от \( -3 \), между \( -3 \) и \( 3 \), справа от \( 3 \). График симметричен относительно оси \( Oy \).

0 0 Пожаловаться