Проведите полное исследование функции y = x³ - 6x².

Ниже — полный разбор функции

1. Область определения

Функция многочлена, определена на всем $\mathbb{R}$.

2. Пересечения с осями

• С пересечением с осью $O_x$ (нахождение корней):

  $$x^3 - 6x^2 = x^2(x - 6) = 0 \implies x = 0 \text{ (корень кратности 2)},\; x = 6.$$

  Пересечения: $(0,0)$ (касание оси), $(6,0)$.

• С осью $O_y$: при $x = 0 \Rightarrow y = 0$. То же самое точка $(0,0)$.

3. Производная, критические точки и монотонность

• Критические точки: $x = 0$ и $x = 4$.

Детальный анализ знака $y'$:

• На $(-\infty, 0)$: функция возрастает.

• На $(0, 4)$: убывает.

• На $(4, +\infty)$: снова возрастает.

В $x = 0$ максимум локальный? Поскольку слева производная положительна, справа — отрицательна, это локальный максимум.
В $x = 4$: справа знак меняется $-$ на $+$, значит локальный минимум.

Значения:

• $y(0) = 0$.

• $y(4) = 4^3 - 6·4^2 = 64 - 96 = -32$.

4. Вторые производные — выпуклость и точки перегиба

• Решаем $y'' = 0 \implies x = 2$.

• Для $x < 2$: $y'' < 0$ — функция вогнутая (вниз).

• Для $x > 2$: $y'' > 0$ — функция выпуклая (вверх).

Значение при $x = 2$:

Точка $(2, -16)$ — точка перегиба.

5. Поведение на концах и асимптоты

Функция — кубический многочлен, значит:

• при $x \to +\infty$: $y \to +\infty$

• при $x \to -\infty$: $y \to -\infty$
  Нет асимптот (нет горизонтальных, наклонных) — рост кубический.

6. Этапы и общее представление

1. Возрастание на $(-\infty, 0)$, достигает локального максимума в $(0,0)$.

2. Затем убывает на $(0, 4)$ до локального минимума $(4, -32)$.

3. После этого снова возрастает на $(4, +\infty)$.

Чувствуется точка перегиба в $(2, -16)$, где поменялась выпуклость функции.

7. Значимые точки и характеристики

• Корни: $x = 0$ (кратность 2), $x = 6$.

• Локальный максимум: $(0, 0)$.

• Локальный минимум: $(4, -32)$.

• Точка перегиба: $(2, -16)$.

• Интервалы возрастающего поведения: $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$.

• Интервал убывания: $(0,4$