1),Написать уравнение прямой, по которой плоскость x-2y+1=0 пересекает координатную плоскость Oxz.

2). Составить уравнение сферы, проходящей через четыре точки: А(1;-2;-1), В(4;1;11), С(-8;-2;2) и D(-5;10;-1).

(x–a)2+(y–b)2+(z–c)2=R2 – каноническое уравнение сферы с центром в точке О(a;b;c) и радиусом R

1) Плоскость \( x - 2y + 1 = 0 \) пересекает координатную плоскость \( Oxz \), которая задаётся уравнением \( y = 0 \). Подставим \( y = 0 \) в уравнение плоскости:
\( x - 2 \cdot 0 + 1 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
В плоскости \( Oxz \) координата \( y = 0 \), а \( x = -1 \), \( z \) — любое. Значит, прямая пересечения задаётся уравнениями \( x = -1, y = 0 \) (ось \( z \) свободна).

2) Каноническое уравнение сферы: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Подставим координаты точек A, B, C, D. Получим систему:
\[ \begin{cases} (1-a)^2+(-2-b)^2+(-1-c)^2=R^2 \\ (4-a)^2+(1-b)^2+(11-c)^2=R^2 \\ (-8-a)^2+(-2-b)^2+(2-c)^2=R^2 \\ (-5-a)^2+(10-b)^2+(-1-c)^2=R^2 \end{cases} \]
Вычтем первое уравнение из остальных, чтобы избавиться от \(R^2\). После упрощения получим линейные уравнения относительно \(a, b, c\):
\( a + b + 4c = 22 \)
\( 3a - c = -11 \)
\( a - 2b = -10 \)
Решим систему. Из третьего: \( a = 2b - 10 \). Подставим в первые два:
\( (2b-10) + b + 4c = 22 \Rightarrow 3b + 4c = 32 \)
\( 3(2b-10) - c = -11 \Rightarrow 6b - c = 19 \Rightarrow c = 6b - 19 \)
Подставим \(c\) в \(3b + 4c = 32\):
\( 3b + 4(6b - 19) = 32 \Rightarrow 3b + 24b - 76 = 32 \Rightarrow 27b = 108 \Rightarrow b = 4 \)
Тогда \( c = 6 \cdot 4 - 19 = 5 \), \( a = 2 \cdot 4 - 10 = -2 \).
Центр сферы \( O(-2; 4; 5) \). Найдём радиус \(R\) как расстояние от центра до точки A(1;-2;-1):
\( R^2 = (1 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2 + (-1 - 5)^2 = 3^2 + (-6)^2 + (-6)^2 = 9 + 36 + 36 = 81 \), \( R = 9 \).
Уравнение сферы: \((x + 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = 81\).

0 0 Пожаловаться