Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 10 см и 8 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно боковой стороне.

Пусть меньшее основание трапеции равно \(b\), большее — \(a\), высота \(h\). Высота разделена на отрезки \(10\) см и \(8\) см, значит:

\[h=10+8=18\]

Обозначим \(x=\frac{a-b}{2}\). Это горизонтальная проекция боковой стороны. Так как трапеция равнобокая и меньшее основание равно боковой стороне, получаем:

\[b^2=x^2+18^2\]

Диагональ делит высоту так, что нижний отрезок равен \(8\) см. По подобию треугольников:

\[\frac{x}{b+x}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\]

Отсюда:

\[9x=4b+4x\]

\[5x=4b\]

\[x=\frac{4}{5}b\]

Подставим в уравнение для боковой стороны:

\[b^2=\left(\frac{4}{5}b\right)^2+324\]

\[b=30\]

Тогда \(x=24\), а большее основание:

\[a=b+2x=30+48=78\]

Площадь трапеции:

\[S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{78+30}{2}\cdot18=972\]

Ответ: \(972\text{ см}^2\).

0 0 Пожаловаться