Диагональ равнобедренной трапеции делит её острый угол пополам. Периметр трапеции равен 15 м, а большее основание — 6 м. Найдите меньшее основание трапеции.

Ответ: 3 м.

Пояснение. Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$ ($a>b$), боковые стороны равны $l$. По условию $a=6$ м, периметр $P=15$ м, а диагональ делит острый угол пополам.

Расположим трапецию так, чтобы большее основание $AB=a$ лежало на горизонтали, меньшее $CD=b$ — параллельно сверху, а вершины $A$ и $B$ — при острых углах. Тогда горизонтальный «сдвиг» каждого бокового ребра равен $\frac{a-b}{2}$, высота $h$, а длина боковой стороны

Пусть диагональ $AC$ биссектрисa острого угла при $A$. Направление биссектрисы острого угла между основанием $AB$ (ось $x$) и боковой стороной $AD$ задаётся суммой единичных векторов вдоль этих сторон. Из этого следует, что её наклон (угловой коэффициент) равен

Наклон диагонали $AC$ равен

Так как диагональ является биссектрисой, $k_{\text{бисс}}=k_{AC}$. Сокращая на $h>0$ и приравнивая,

Отсюда

Стоп: корректнее перенести:

Итак, условие «диагональ — биссектриса острого угла» даёт простое соотношение $l=b$: длина боковой стороны равна меньшему основанию.

Теперь используем периметр: