Дан куб abcda1b1c1d1 Найдите угол между прямыми:
а) AB и BC.
б) AB и A1D1.
в) BC и D1В1.​

Для того чтобы найти углы между указанными прямыми в данном пространственном кубе, нужно воспользоваться принципами геометрии и векторной алгебры. Для этого определим координаты точек и будем использовать скалярное произведение векторов.

Рассмотрим куб с вершинами $A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A_1(0, 0, 1), B_1(1, 0, 1), C_1(1, 1, 1), D_1(0, 1, 1)$, где длина ребра куба равна 1.

а) Угол между прямыми AB и BC

Прямые $AB$ и $BC$ лежат на одной плоскости, и чтобы найти угол между ними, нужно вычислить угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$.

1. Вектор $\overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)$.
2. Вектор $\overrightarrow{BC} = C - B = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)$.

Теперь найдем угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ с помощью скалярного произведения:

Скалярное произведение:

Так как скалярное произведение равно 0, угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ составляет 90 градусов. Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $BC$ равен 90°.

б) Угол между прямыми AB и A1D1

Прямые $AB$ и $A_1D_1$ не лежат в одной плоскости, поэтому угол между ними можно найти, используя векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{A_1D_1}$.

1. Вектор $\overrightarrow{AB} = (1, 0, 0)$, как мы вычислили ранее.
2. Вектор $\overrightarrow{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (0, 1, 1) - (0, 0, 1) = (0, 1, 0)$.

Теперь вычислим угол между этими векторами: