Дан куб ABCDA1B1C1D1 , ребро которого равно 5. Найдите периметр и площадь сечения B1D1S , если A1S=SA.

Для начала нужно разобраться, что из себя представляет сечение куба плоскостью, проходящей через точки $B_1$, $D_1$ и $S$, где точка $S$ — это середина ребра $A_1A$, так как $A_1S = SA$. Давайте поэтапно решим задачу.

1. Введение системы координат:

Расположим куб в системе координат так, чтобы его вершины имели следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(5, 0, 0)$
• $C(5, 5, 0)$
• $D(0, 5, 0)$
• $A_1(0, 0, 5)$
• $B_1(5, 0, 5)$
• $C_1(5, 5, 5)$
• $D_1(0, 5, 5)$

2. Координаты точки $S$:

Точка $S$ — это середина ребра $A_1A$, которое соединяет вершины $A_1(0, 0, 5)$ и $A(0, 0, 0)$. Координаты точки $S$ найдём как среднее арифметическое координат концов отрезка $A_1A$:

3. Уравнение плоскости:

Теперь, зная координаты точек $B_1(5, 0, 5)$, $D_1(0, 5, 5)$ и $S(0, 0, 2.5)$, можем записать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Найдем векторы $\overrightarrow{B_1S}$ и $\overrightarrow{D_1S}$:

Теперь найдём векторное произведение этих векторов, чтобы получить нормаль к плоскости:

Получили нормальный вектор $\overrightarrow{n} = (-12.5, -12.5, 25)$. Уравнение плоскости имеет вид:

или, разделив на 12.5: