Вычислите неопределённые интегралы методом подстановки.

Приведите хотя бы несколько примеров.

Метод подстановки используют, когда внутри функции есть выражение, производная которого тоже стоит рядом. Мы заменяем это выражение новой переменной.

Общий смысл: если \(u=g(x)\), то \(du=g'(x)dx\).

• \[ \int 2x\cos(x^2)\,dx \]
  Пусть \(u=x^2\), тогда \(du=2x\,dx\). Получаем:
  \[ \int \cos u\,du=\sin u+C=\sin(x^2)+C \]
• \[ \int e^{3x+1}\,dx \]
  Пусть \(u=3x+1\), тогда \(du=3dx\), значит \(dx=\frac{du}{3}\).
  \[ \int e^{3x+1}\,dx=\frac{1}{3}\int e^u\,du=\frac{1}{3}e^u+C=\frac{1}{3}e^{3x+1}+C \]
• \[ \int \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}\,dx \]
  Пусть \(u=x^2+5\), тогда \(du=2x\,dx\).
  \[ \int \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}\,dx=\frac{1}{2}\int u^{-\frac12}\,du=\sqrt{u}+C=\sqrt{x^2+5}+C \]
• \[ \int \frac{dx}{2x+3} \]
  Пусть \(u=2x+3\), тогда \(du=2dx\).
  \[ \int \frac{dx}{2x+3}=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln|2x+3|+C \]

Во всех неопределённых интегралах обязательно добавляют \(C\), потому что производная постоянной равна нулю.

0 0 Пожаловаться