Написать уравнение параболы и её директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой x+y=0 и окружности x^2+y^2+4y=0 и симметрична относительно оси Oy.

Найдём точки пересечения прямой \( x+y=0 \) и окружности \( x^2+y^2+4y=0 \).

Из прямой получаем: \( y=-x \).

Подставим в окружность:

\[ x^2+(-x)^2+4(-x)=0 \]

\[ 2x^2-4x=0 \]

\[ 2x(x-2)=0 \]

Значит, \( x=0 \) или \( x=2 \). Точки пересечения: \( (0;0) \) и \( (2;-2) \).

Парабола симметрична относительно оси \( Oy \), значит её уравнение имеет вид:

\[ y=ax^2 \]

Так как точка \( (2;-2) \) лежит на параболе:

\[ -2=a\cdot 2^2 \]

\[ -2=4a \]

\[ a=-\frac{1}{2} \]

Уравнение параболы:

\[ y=-\frac{1}{2}x^2 \]

Или:

\[ x^2=-2y \]

Сравним с формой \( x^2=4py \). Тогда \( 4p=-2 \), значит \( p=-\frac{1}{2} \).

Директриса имеет уравнение \( y=-p \), поэтому:

\[ y=\frac{1}{2} \]

Ответ: парабола \( y=-\frac{1}{2}x^2 \), директриса \( y=\frac{1}{2} \).

0 0 Пожаловаться