Упростите выражение 8a^3+36a/a^3+27 - 4a^2/a^2-3a+9

Чтобы упростить выражение $\frac{8a^3 + 36a}{a^3 + 27} - \frac{4a^2}{a^2 - 3a + 9}$, давайте рассмотрим каждый из его компонентов поочередно.

Шаг 1: Упростим первое дробное выражение $\frac{8a^3 + 36a}{a^3 + 27}$.

Первое, что стоит заметить, это наличие общего множителя в числителе: $8a^3 + 36a$. Можно вынести общий множитель ( 4a :

Теперь рассмотрим знаменатель $a^3 + 27$. Это выражение представляет собой сумму кубов:

Сумма кубов раскладывается по формуле $(x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a$ и $y = 3$. Применяя эту формулу:

Теперь подставим это в наше выражение:

Шаг 2: Упростим второе дробное выражение $\frac{4a^2}{a^2 - 3a + 9}$.

Это выражение не требует дополнительных преобразований, оно уже в достаточно простой форме.

Шаг 3: Объединяем выражения.

Теперь у нас есть два выражения:

Для того чтобы объединить их в одну дробь, нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(a + 3)(a^2 - 3a + 9)$. Для этого домножим второе выражение на $a + 3$ в числителе и знаменателе:

Теперь у нас два выражения с одинаковым знаменателем:

Шаг 4: Складываем числители.

Так как знаменатели одинаковы, можно объединить числители:

Раскроем скобки в числителе:

Теперь подставим эти выражения в числитель: