Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30 градусов.

Основание правильной треугольной пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \(6\) см.

Радиус описанной окружности основания:

\[R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

Боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\), значит:

\[\tan 30^\circ=\frac{h}{R}\]

\[h=R\tan 30^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=2\]

Площадь основания:

\[S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\]

Объём пирамиды:

\[V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2=6\sqrt{3}\]

Ответ: \(6\sqrt{3}\) см\(^3\).

0 0 Пожаловаться