Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол 30°. Вычислите высоту пирамиды, если площадь диагонального сечения равна 4√3 см².

Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — это треугольник, проходящий через вершину пирамиды и диагональ основания.

Пусть высота пирамиды равна \(h\), а диагональ основания равна \(d\). Площадь диагонального сечения:

\[S=\frac{1}{2}dh\]

По условию \(S=4\sqrt{3}\), значит:

\[\frac{1}{2}dh=4\sqrt{3}\]

Боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). В прямоугольном треугольнике с высотой \(h\) и половиной диагонали основания \(\frac d2\):

\[\tan 30^\circ=\frac{h}{d/2}\]

Так как \(\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\), получаем:

\[\frac{h}{d/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

\[d=2h\sqrt{3}\]

Подставим это в формулу площади:

\[\frac{1}{2}\cdot 2h\sqrt{3}\cdot h=4\sqrt{3}\]

\[h^2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\]

\[h^2=4\]

\[h=2\]

Ответ: высота пирамиды равна \(2\) см.

0 0 Пожаловаться