Ивановы поехали на машине из Саратова в Хвалынск. Через четверть пути их дочка Соня поняла, что забыла свою куклу, и машина повернула назад. Проехав 30 км, кукла нашлась, и машина поехала дальше в Хвалынск. Проехав ещё половину исходного пути, им осталось проехать 100 км. Какое расстояние между городами?

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Пусть расстояние между Саратовом и Хвалынском равно $S$ км.

1. Первый этап: Ивановы проехали четверть пути до того, как Соня заметила, что забыла куклу.
   Тогда до этого момента они проехали:

   $$\frac{1}{4}S$$

2. Возврат: Машина повернула обратно за куклой. Пусть машина проехала 30 км, пока кукла не нашлась. Это значит, что она вернулась на 30 км назад, а затем поехала дальше.

   После того как кукла найдена, машина снова направляется в Хвалынск. На этом этапе она находится на расстоянии:

   $$\text{текущее расстояние от Саратова} = \frac{1}{4}S - 30$$

3. Следующий этап: Машина проезжает ещё половину исходного пути (то есть $\frac{1}{2}S$) и потом остаётся проехать 100 км.

   Иными словами:

   $$(\frac{1}{4}S - 30) + \frac{1}{2}S + 100 = S$$

   Здесь суммируем: сначала текущая позиция после возврата, затем половина пути, затем оставшиеся 100 км = общее расстояние $S$.

4. Соберём подобные слагаемые:

   $$\frac{1}{4}S - 30 + \frac{1}{2}S + 100 = S$$ $$\frac{3}{4}S + 70 = S$$

5. Решаем уравнение для $S$:

   $$S - \frac{3}{4}S = 70$$ $$\frac{1}{4}S = 70$$ $$S = 70 \cdot 4 = 280$$

✅ Ответ: расстояние между Саратовом и Хвалынском — 280 км.