На каждом километре дороги между городами Москва и Киржач стоит столб с табличкой, на одной стороне которой указано, сколько километров до Москвы, а на другой - до Киржача. Проезжая мимо столба, Уникум заметил, что на одной стороне таблички отмечено двузначное число, сумма цифр которого 8, а на другой стороне число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Проехав ещё 18 км, Уникум очень удивился, увидев на столбе те же числа. Подумав, он сумел выяснить причину этого факта и определить расстояние между городами Москва и Киржач. Чему равно это расстояние? Что было написано на табличках?

Рассмотрим данную задачу, чтобы решить её.

1. Обозначим расстояния: Пусть $d$ — расстояние между Москвой и Киржачом в километрах. Столбы стоят на каждом километре, и на каждом из них указано, сколько километров остаётся до Москвы и до Киржача. Если $x$ — расстояние до Москвы на первом столбе, то расстояние до Киржача будет $d - x$ км.

2. Условия задачи:

   • На первой табличке, которую заметил Уникум, указано двузначное число, сумма цифр которого равна 8.
   • На другой стороне таблички записано число, состоящее из тех же цифр в обратном порядке (то есть зеркально).
   • После проезда ещё 18 км Уникум увидел те же числа на новой табличке.

3. Анализ условий: Чтобы число было двузначным и сумма его цифр была равна 8, нам подойдут такие комбинации:

   • 17 (и обратное ему 71),
   • 26 (и обратное ему 62),
   • 35 (и обратное ему 53),
   • 44 (самообратное).

   Поскольку 44 — это самообратное число, оно не может быть решением, так как не отвечает требованиям задачи (у чисел должны быть разные порядки).

4. Выбор подходящей пары чисел: Рассмотрим пары (17 и 71), (26 и 62), (35 и 53). Эти пары представляют возможные расстояния до Москвы и Киржача, которые Уникум увидел на столбах.

5. Расстояние между первыми и вторыми табличками: Разница между расстояниями до Москвы и Киржача на первой и второй табличке составляет 18 км, как сказано в задаче.

6. Решение для каждой пары:

   • Пара 17 и 71:
     Пусть $x = 17$ км, тогда $d - x = 71$. Отсюда $d = 17 + 71 = 88$ км.
     Проверим: если Уникум проехал 18 км, то расстояние до Москвы стало $17 + 18 = 35$, а расстояние до Киржача — $71 - 18 = 53$. Мы получили числа 35 и 53, которые тоже удовлетворяют условиям (записаны теми же цифрами в обратном порядке).
     Это решение подходит.

   • Пары 26 и 62, 35 и 53:
     Можно проверить их аналогично, но они не дадут новых решений с расстоянием 88 км.

7. Ответ: Таким образом, расстояние между Москвой и Киржачом равно 88 км. На первой табличке было написано 17 км до Москвы и 71 км до Киржача, а на табличке, проехав 18 км, — 35 км до Москвы и 53 км до Киржача.