Докажите, что уравнения не имеют корней.

Доказать, что уравнения не имеют корней, невозможно без самих уравнений.

В условии отсутствует главное: какие именно уравнения нужно рассмотреть. Например, для уравнения

в действительных числах корней нет, потому что $x^2\ge 0$ при любом действительном $x$, значит

А вот уравнение

имеет корни:

То есть способ доказательства полностью зависит от вида уравнения.

Обычно, чтобы доказать, что уравнение не имеет корней, делают одно из следующих рассуждений:

1. Показывают, что левая часть всегда положительна или всегда отрицательна.

Например:

Так как

то

Следовательно, выражение $x^2+4$ никогда не равно нулю. Значит, уравнение не имеет действительных корней.

2. Используют дискриминант.

Для квадратного уравнения

если

то уравнение не имеет действительных корней.

Например:

Здесь

Следовательно, действительных корней нет.

3. Показывают, что две части уравнения не могут быть равны.

Например:

Так как

то

Левая часть всегда не меньше $3$, а правая часть равна $-1$. Они не могут быть равны. Значит, корней нет.

4. Используют область допустимых значений.

Например:

Корень квадратный из числа всегда неотрицателен:

Поэтому он не может равняться $-2$. Значит, уравнение не имеет корней.

Таким образом, без конкретных уравнений можно сказать только общий принцип: нужно показать, что равенство невозможно ни при каком допустимом значении переменной. Но сами доказательства зависят от конкретного вида уравнений.