Деревянный куб поставили на стол, облили краской сверху (на нижнюю грань краска не затекла) и распилили на одинаковые маленькие кубики. При этом получилось 32 кубика, имеющих хотя бы две окрашенные грани. Сколько кубиков не имеют окрашенных граней?

Пусть большой куб распилили на $n \times n \times n$ маленьких кубиков.

Краской покрылись 5 граней большого куба: верхняя и четыре боковые. Нижняя грань осталась неокрашенной, потому что куб стоял на столе.

Нужно посчитать кубики, у которых хотя бы две окрашенные грани.

Такие кубики находятся:

1. На четырёх вертикальных рёбрах большого куба.
   На каждом таком ребре по $n$ маленьких кубиков, и у каждого окрашены две боковые грани, а у верхнего ещё и верхняя.
   Всего:

   $$4n$$

2. На верхних горизонтальных рёбрах, но без угловых кубиков, потому что углы уже посчитаны среди вертикальных рёбер.
   На каждом верхнем ребре остаётся $n-2$ кубика. Таких рёбер 4:

   $$4(n-2)$$

Итого кубиков с хотя бы двумя окрашенными гранями:

Значит, большой куб распилили на $5 \times 5 \times 5$ маленьких кубиков.

Теперь найдём кубики, у которых нет окрашенных граней.

Чтобы кубик не был окрашен, он не должен лежать:

• на верхней грани,

• на боковых гранях.

По горизонтали внутри остаётся квадрат:

По высоте можно брать все слои, кроме верхнего, потому что нижняя грань не окрашена. Значит, слоёв без верхней окраски:

Тогда число неокрашенных кубиков:

Подставляем $n = 5$:

Ответ: 36 кубиков.