ABCD — прямоугольник. Если MN || AD, EF || AB, то докажите, что площадь четырёхугольника MENF равна половине площади прямоугольника ABCD.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$, пусть $AB$ горизонтальна, $AD$ вертикальна.

Введём координаты:
$A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,b)$, $D(0,b)$.

1. Положение точек

Так как $MN \parallel AD$, а $AD$ вертикальна, то отрезок $MN$ тоже вертикален. Значит точки $M$ и $N$ имеют одинаковую $x$-координату.

Пусть:

• $M$ лежит на $AB$, значит $M(t,0)$,

• $N$ лежит на $CD$, значит $N(t,b)$.

Действительно, это единственный способ, чтобы $MN \parallel AD$ внутри прямоугольника.

Теперь $EF \parallel AB$, а $AB$ горизонтальна, значит $EF$ горизонтален, и точки $E$ и $F$ имеют одинаковую $y$-координату.

Пусть:

• $E$ лежит на $AD$, значит $E(0,s)$,

• $F$ лежит на $BC$, значит $F(a,s)$.

2. Координаты четырёхугольника $MENF$

Получаем:

• $M(t,0)$

• $E(0,s)$

• $N(t,b)$

• $F(a,s)$

Рассмотрим многоугольник $M \to E \to N \to F$.

3. Вычисление площади (формула «шнуровки»)

Считаем:

Первая сумма:

Вторая сумма:

Подставляем:

4. Сравнение с площадью прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$:

Следовательно:

Что и требовалось доказать.