Найти наибольшее значение функции y = -2/3 x^(3/2) + 3x + 1 на отрезке [1; 9].

Рассмотрим функцию

Чтобы найти наибольшее значение на отрезке, вычислим производную:

Так как

получаем:

Найдём критическую точку:

Точка $x=9$ принадлежит отрезку $[1;9]$. При $1\le x<9$ имеем $\sqrt{x}<3$, значит

Следовательно, функция возрастает на всём отрезке $[1;9]$, поэтому наибольшее значение достигается при $x=9$.

Вычислим:

Тогда

Наибольшее значение функции равно $10$.