Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен α. Найдите двугранные углы между плоскостью основания и боковой гранью, а также между смежными боковыми гранями.

Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида, а плоский угол при вершине равен

То есть боковые грани — равные равнобедренные треугольники, и угол между соседними боковыми рёбрами равен $\alpha$.

1. Двугранный угол между основанием и боковой гранью

Рассмотрим грань $SAB$. Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $O$ — центр квадрата основания. Тогда сечение плоскостью $SOM$ перпендикулярно ребру $AB$ даёт угол двугранного угла:

В равнобедренном треугольнике $SAB$:

Так как $AM=\frac{AB}{2}$, получаем

Для квадрата:

В прямоугольном треугольнике $SOM$:

Подставляя найденные значения:

Следовательно,

— это двугранный угол между основанием и боковой гранью.

2. Двугранный угол между смежными боковыми гранями

Рассмотрим две соседние боковые грани, например $SAB$ и $SAD$. Их общий край — $SA$.

Обозначим искомый двугранный угол через $\psi$.

Возьмём единичные векторы вдоль рёбер $SA,SB,SD$. Угол между соседними рёбрами равен $\alpha$, поэтому

Для противоположных вершин квадрата угол между рёбрами $SB$ и $SD$ равен:

Угол между нормалями к граням $SAB$ и $SAD$ имеет косинус:

Но внутренний двугранный угол пирамиды является дополнительным к углу между внешними нормалями, поэтому:

Используем формулу

Получаем:

— двугранный угол между соседними боковыми гранями.

Итак, искомые углы: