Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Точка M — середина ребра AB, N — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую CD. Найдите угол между боковыми гранями пирамиды, если угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.

Разберём геометрию через сечение, перпендикулярное боковому ребру: так угол между гранями будет выражен через один прямоугольный треугольник.

Обозначим сторону основания через $a$. В правильной пирамиде все двугранные углы между боковыми гранями равны, поэтому рассмотрим грани $ACD$ и $BCD$, которые пересекаются по ребру $CD$.

Пусть $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. Точки $C,O,M$ лежат на одной прямой, причём

Проекцией бокового ребра $CD$ на плоскость основания является $CO$, а значит

Так как $C,O,M$ коллинеарны,

По условию $MN\perp CD$, поэтому треугольник $CMN$ прямоугольный. Тогда

Теперь заметим, что $AB\perp CD$: прямая $AB$ перпендикулярна и $CO$, и высоте пирамиды $DO$, следовательно, она перпендикулярна плоскости $DCO$, содержащей ребро $CD$.

Поэтому $AN\perp CD$ и $BN\perp CD$. Прямые $AN$ и $BN$ лежат соответственно в гранях $ACD$ и $BCD$, так что угол

есть линейный угол двугранного угла между этими гранями.

В прямоугольном треугольнике $ACN$:

Следовательно,

В равнобедренном треугольнике $ANB$ по теореме косинусов:

Значит, угол между боковыми гранями равен

или приблизительно